一、 函数的定义 函数的传统定义:设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量。

我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

函数的近代定义:设A，B都是非空的数的集合，f:x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f:A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函数f(x)的定义域，象集合C叫做函数f(x)的值域，显然有CB。

符号y=f(x)即是“y是x的函数”的数学表示，应理解为:x是自变量，它是法则所施加的对象;f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述;y是自变量的函数，当x为允许的某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值，当f用解析式表示时，则解析式为函数解析式。

y=f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式，在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号来表示。

对函数概念的理解函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

这样，就不难得知函数实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊的映射。

由函数的近代定义可知，函数概念含有三个要素:定义域A、值域C和对应法则f。

其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

y=f(x)的意义是:y等于x在法则f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径，是联系x与y的纽带，所以是函数的核心。

至于用什么字母表示自变量、因变量和对应法则，这是无关紧要的。

函数的定义域(即原象集合)是自变量x的取值范围，它是构成函数的一个不可缺少的组成部分。

当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则完全确定之后，函数的值域也就随之确定了。

因此，定义域和对应法则为“y是x的函数”的两个基本条件，缺一不可。

只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数，这就是说:1)定义域不同，两个函数也就不同;2)对应法则不同，两个函数也是不同的;3)即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则。

例如:函数y=x+1与y=2x+1，其定义域都是x∈R，值域都为y∈R。

也就是说，这两个函数的定义域和值域相同，但它们的对应法则是不同的，因此不能说这两个函数是同一个函数。

定义域A，值域C以及从A到C的对应法则f，称为函数的三要素。

由于值域可由定义域和对应法则唯一确定。

两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数。

例如:在①y=x与 ，② 与 ，③y=x+1与 ，④y=x0与y=1，⑤y=|x|与 这五组函数中，只有⑤表示同一函数。

f(x)与f(a)的区别与联系f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量。

而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值。

如一次函数f(x)=3x+4，当x=8时，f(8)=3×8+4=28是一常数。

当法则所施加的对象与解析式中表述的对象不一致时，该解析式不能正确施加法则。

比如f(x)=x2+1，左端是对x施加法则，右端也是关于x的解析式，这时此式是以x为自变量的函数的解析式;而对于f(x+1)=3x2+2x+1，左端表示对x+1施加法则，右端是关于x的解析式，二者并不统一，这时此式既不是关于x的函数解析式，也不是关于x+1的函数解析式。

函数的定义域:定义:原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，即自变量的允许值范围。

当函数用解析式给出时，定义域就是使式子有意义的自变量的允许值的集合。

求定义域:求定义域的三种基本方法:一是依据函数解析式中所包含的运算(除法、开平方等)对自变量的制约要求，通过解不等式(组)求得定义域;二是依据确定函数y=f(x)的对应法则f对作用对象的取值范围的制约要求，通过解不等式(组)求得定义域;三是根据问题的实际意义，规定自变量的取值范围，求得定义域。

如果函数是由一些基本函数通过四则运算构成的，那么它的定义域是使各个部分都有意义的x值组成的集合。

对含参数的函数求定义域(或已知定义域，求字母参数的取值范围)时，必须对参数的取值进行讨论。

当函数由实际问题给出时，其定义域由实际问题确定。

函数的值域: 定义:象的集合C(C B)叫做函数y=f(x)的值域，即函数值的变化范围。

求值域的基本方法:依据各类基本函数的值域，通过不等式的变换，确定函数值的取值范围，在这一过程中，充分利用函数图像的直观性，能有助于结论的得出和检验。

从定义域出发，利用函数的单调性，是探求函数值域的通法。