3.等差数列的基本性质⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d.⑵公差为d的等差数列。

各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd.⑶若{ a }、{ b }为等差数列，则{ a ±b }与{ka +b}(k、b为非零常数)也是等差数列.⑷对任何m、n 。

在等差数列{ a }中有:a = a + (n-m)d，特别地，当m = 1时。

便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性.⑸、一般地，如果l。

k，p，…。

m，n，r。

…皆为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等)，那么当{a }为等差数列时。

有:a + a + a + … = a + a + a + … .⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列。

此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差).⑺如果{ a }是等差数列，公差为d。

那么，a ，a 。

…，a 、a 也是等差数列，其公差为-d;在等差数列{ a }中。

a -a = a -a = md .(其中m、k、 )⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项.⑼当公差d＞0时。

等差数列中的数随项数的增大而增大;当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小;d=0时，等差数列中的数等于一个常数.⑽设a 。

a ，a 为等差数列中的三项，且a 与a 。

a 与a 的项距差之比 = ( ≠-1)，则a = .5.等差数列前n项和公式S 的基本性质⑴数列{ a }为等差数列的充要条件是:数列{ a }的前n项和S 可以写成S = an + bn的形式(其中a、b为常数).⑵在等差数列{ a }中，当项数为2n (n N )时。

S -S = nd， = ;当项数为(2n-1) (n )时，S -S = a 。

= .⑶若数列{ a }为等差数列，则S ，S -S 。

S -S ，…仍然成等差数列，公差为 .⑷若两个等差数列{ a }、{ b }的前n项和分别是S 、T (n为奇数)。

则 = .⑸在等差数列{ a }中，S = a，S = b (n＞m)。

则S = (a-b).⑹等差数列{a }中， 是n的一次函数，且点(n。

)均在直线y = x + (a - )上.⑺记等差数列{a }的前n项和为S .①若a ＞0，公差d＜0，则当a ≥0且a ≤0时。

S 最大;②若a ＜0 ，公差d＞0，则当a ≤0且a ≥0时。

S 最小.3.等比数列的基本性质⑴公比为q的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列。

此数列仍是等比数列，其公比为q ( m为等距离的项数之差).⑵对任何m、n ，在等比数列{ a }中有:a = a · q 。

特别地，当m = 1时，便得等比数列的通项公式。

此式较等比数列的通项公式更具有普遍性.⑶一般地，如果t ，k。

p，…，m。

n，r，…皆为自然数。

且t + k，p，…。

m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等)，那么当{a }为等比数列时，有:a .a .a .… = a .a .a .… ..⑷若{ a }是公比为q的等比数列。

则{| a |}、{a }、{ka }、{ }也是等比数列，其公比分别为| q |}、{q }、{q}、{ }.⑸如果{ a }是等比数列，公比为q。

那么，a ，a 。

a ，…，a 。

…是以q 为公比的等比数列.⑹如果{ a }是等比数列，那么对任意在n ，都有a ·a = a ·q ＞0.⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列。

且公比等于这两个数列的公比的积.⑻当q＞1且a ＞0或0＜q＜1且a ＜0时，等比数列为递增数列;当a ＞0且0＜q＜1或a ＜0且q＞1时，等比数列为递减数列;当q = 1时。

等比数列为常数列;当q＜0时，等比数列为摆动数列.4.等比数列前n项和公式S 的基本性质⑴如果数列{a }是公比为q 的等比数列，那么。

它的前n项和公式是S =也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q = 1处.因此。

使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1。

则需分q = 1和q≠1进行讨论.⑵当已知a ，q，n时。

用公式S = ;当已知a ，q，a 时。

用公式S = .⑶若S 是以q为公比的等比数列，则有S = S +qS .⑵⑷若数列{ a }为等比数列，则S 。

S -S ，S -S ，…仍然成等比数列.⑸若项数为3n的等比数列(q≠-1)前n项和与前n项积分别为S 与T 。

次n项和与次n项积分别为S 与T ，最后n项和与n项积分别为S 与T ，则S 。

S ，S 成等比数列，T 。

T ，T 亦成等比数列.。