波粒二象性（wave-particle duality）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。

波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。

在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。

前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。

1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。

1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。

根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。

[编辑本段]“波”和“粒子”的数学关系 物质的粒子性由能量 E 和动量 p 刻划，波的特征则由电磁波频率 ν 和其波长 λ 表达，这两组物理量的比例因子由普朗克常数 h（h=6.626*10^-34J·s） 所联系。

E=hv , E=mc^2 联立两式，得：m=hv/c^2(这是光子的相对论质量，由于光子无法静止，因此光子无静质量）而p=mc 则p=hv/c（p 为动量）[编辑本段]历史 在十九世纪末，日臻成熟的原子理论逐渐盛行，根据原子理论的看法，物质都是由微小的粒子——原子构成。

比如原本被认为是一种流体的电，由汤普孙的阴极射线实验证明是由被称为电子的粒子所组成。

因此，人们认为大多数的物质是由粒子所组成。

而与此同时，波被认为是物质的另一种存在方式。

波动理论已经被相当深入地研究，包括干涉和衍射等现象。

由于光在托马斯·杨的双缝干涉实验中，以及夫琅和费衍射中所展现的特性，明显地说明它是一种波动。

不过在二十世纪来临之时，这个观点面临了一些挑战。

1905年由阿尔伯特·爱因斯坦研究的光电效应展示了光粒子性的一面。

随后，电子衍射被预言和证实了。

这又展现了原来被认为是粒子的电子波动性的一面。

这个波与粒子的困扰终于在二十世纪初由量子力学的建立所解决，即所谓波粒二象性。

它提供了一个理论框架，使得任何物质在一定的环境下都能够表现出这两种性质。

量子力学认为自然界所有的粒子，如光子、电子或是原子，都能用一个微分方程，如薛定谔方程来描述。

这个方程的解即为波函数，它描述了粒子的状态。

波函数具有叠加性，即，它们能够像波一样互相干涉和衍射。

同时，波函数也被解释为描述粒子出现在特定位置的几率幅。

这样，粒子性和波动性就统一在同一个解释中。

之所以在日常生活中观察不到物体的波动性，是因为他们的质量太大，导致特征波长比可观察的限度要小很多，因此可能发生波动性质的尺度在日常生活经验范围之外。

这也是为什么经典力学能够令人满意地解释“自然现象”。

反之，对于基本粒子来说，它们的质量和尺度决定了它们的行为主要是由量子力学所描述的，因而与我们所习惯的图景相差甚远。

[编辑本段]惠更斯和牛顿，早期光理论 最早的综合光理论是由克里斯蒂安·惠更斯所发展的，他提出了一个光的波动理论，解释了光波如何形成波前，直线传播。

该理论也能很好地解释折射现象。

但是，该理论在另一些方面遇见了困难。

因而它很快就被艾萨克·牛顿的粒子理论所超越。

牛顿认为光是由微小粒子所组成，这样他能够很自然地解释反射现象。

并且，他也能稍显麻烦地解释透镜的折射现象，以及通过三棱镜将阳光分解为彩虹。

由于牛顿无与伦比的学术地位，他的理论在一个多世纪内无人敢于挑战，而惠更斯的理论则渐渐为人淡忘。

直到十九世纪初衍射现象被发现，光的波动理论才重新得到承认。

而光的波动性与粒子性的争论从未平息。

[编辑本段]费涅尔、麦克斯韦和杨 十九世纪早期由托马斯·杨和奥古斯丁-让·费涅尔所演示的双缝干涉实验为惠更斯的理论提供了实验依据：这些实验显示，当光穿过网格时，可以观察到一个干涉样式，与水波的干涉行为十分相似。

并且，通过这些样式可以计算出光的波长。

詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在世纪末叶给出了一组方程，揭示了电磁波的性质。

而方程得到的结果，电磁波的传播速度就是光速，这使得光作为电磁波的解释被人广泛接受，而惠更斯的理论也得到了重新认可。

[编辑本段]爱因斯坦和光子 1905年，爱因斯坦对光电效应提出了一个理论，解决了之前光的波动理论所无法解释的这个实验现象。

他引入了光子，一个携带光能的量子的概念。

在光电效应中，人们观察到将一束光线照射在某些金属上会在电路中产生一定的电流。

可以推断是光将金属中的电子打出，使得它们流动。

然而，人们同时观察到，对于某些材料，即使一束微弱的蓝光也能产生电流，但是无论多么强的红光都无法在其中引出电流。

根据波动理论，光强对应于它所携带的能量，因而强光一定能提供更强的能量将电子击出。

然而事实与预期的恰巧相反。

爱因斯坦将其解释为量子化效应：电子被光子击出金属，每一个光子都带有一部分能量E，这份能量对应于光的频率ν：E=hν 这里h是普朗克常数（6.626 x 10^-34 J s）。

光束的颜色决定于光子的频率，而光强则决定于光子的数量。

由于量子化效应，每个电子只能整份地接受光子的能量，因此，只有高频率的光子（蓝光，而非红光）才有能力将电子击出。

爱因斯坦因为他的光电效应理论获得了1921年诺贝尔物理学奖。

[编辑本段]光电效应方程 由于E=hv，这光照射到原子上，其中电子吸收一份能量，从而克服逸出功，逃出原子。

电子所具有的动能Ek=hv-W0,W0为电子逃出原子所需的逸出功。

这就是爱因斯坦的光电效应方程。

[编辑本段]德布罗意假设 1924年，路易-维克多•德•布罗意注意到原子中电子的稳定运动需要引入整数来描写，与物理学中其他涉及整数的现象如干涉和振动简正模式之间的类似性，构造了德布罗意假设，提出正如光具有波粒二象性一样，实物粒子也具有波粒二象性。

他将这个波长λ和动量p联系为：λ=h/p 这是对爱因斯坦等式的一般化，因为光子的动量为p = E / c（c为真空中的光速），而λ = c / ν。

德布罗意的方程三年后通过两个独立的电子散射实验被证实于电子（具有静止质量）身上。

在贝尔实验室Clinton Joseph Davisson和Lester Halbert Germer以低速电子束射向镍单晶获得电子经单晶衍射，测得电子的波长与德布罗意公式一致。

在阿伯丁大学，George Paget Thomson以高速电子穿过多晶金属箔获得类似X射线在多晶上产生的衍射花纹，确凿证实了电子的波动性；以后又有其他实验观测到氦原子、氢分子以及中子的衍射现象，微观粒子的波动性已被广泛地证实。

根据微观粒子波动性发展起来的电子显微镜、电子衍射技术和中子衍射技术已成为探测物质微观结构和晶体结构分析的有力手段。

德布罗意于1929年因为这个假设获得了诺贝尔物理学奖。

Thomson和Davisson因为他们的实验工作共享了1937年诺贝尔物理学奖。

光和微观粒子的波粒二象性如何统一的问题是人类认识史上最令人困惑的问题 ，至今不能说问题已经完全解决。

1926年M.玻恩提出概率波解释，较好地解决了这个问题。

按照概率波解释，描述粒子波动性所用的波函数Ψ(x、y、z、t)是概率波，而不是什么具体的物质波；波函数的绝对值的平方｜ψ｜2＝ψ*ψ表示时刻t在x、y、z处出现的粒子的概率密度，ψ*表示ψ 的共轭波函数。

在电子通过双孔的干涉实验中，｜ψ｜2＝｜ψ1＋ψ2｜2＝｜ψ1｜2＋｜ψ2｜2＋ψ1*ψ2＋ψ1ψ2*，强度｜ψ｜2大的地方出现粒子的概率大 ，相应的粒子数多，强度弱的地方，｜ψ｜2小 ，出现粒子的概率小，相应的粒子数少，ψ1*ψ2＋ψ1ψ2*正是反映干涉效应的项，不管实验是在粒子流强度大的条件下做的，还是粒子流很弱，让粒子一个一个地射入，多次重复实验，两者所得的干涉条纹结果是相同的。

在粒子流很弱、粒子一个一个地射入多次重复实验中显示的干涉效应表明，微观粒子的波动性不是大量粒子聚集的性质，单个粒子即具有波动性。

于是，一方面粒子是不可分割的，另一方面在双孔实验中双孔又是同时起作用的，因此，对于微观粒子谈论它的运动轨道是没有意义的。

由于微观粒子具有波粒二象性，微观粒子所遵从的运动规律不同于宏观物体的运动规律，描述微观粒子运动规律的量子力学也就不同于描述宏观物体运动规律的经典力学。

薛定谔方程 量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。

薛定谔方程广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。

薛定谔方程仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。

当计及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。

.薛定谔提出的量子力学基本方程 。

建立于 1926年。

它是一个非相对论的波动方程。

它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律，它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样，是量子力学的基本假设之一。

设描述微观粒子状态的波函数为Ψ（r，t），质量为m的微观粒子在势场U（r，t）中运动的薛定谔方程为。

在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下，可解出波函数Ψ（r，t）。

由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值（期望值）。

当势函数U不依赖于时间t时，粒子具有确定的能量，粒子的状态称为定态。

定态时的波函数可写成式中Ψ（r）称为定态波函数，满足定态薛定谔方程，这一方程在数学上称为本征方程，式中E为本征值，是定态能量，Ψ（r）又称为属于本征值E的本征函数。

量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。

薛定谔方程广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。

薛定谔方程仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。

当计及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。