如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是:存在唯一实数λ，使得 b=λa。

证明: 1)充分性，对于向量 a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使 b=λa，那么由 实数与向量的积的定义 知，向量a与b共线。

2)必要性，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。

那么当向量a与b同方向时，令 λ=m，有 b =λa，当向量a与b反方向时，令 λ=-m，有 b=-λa。

如果b=0，那么λ=0。

3)唯一性，如果 b=λa=μa，那么 (λ-μ)a=0。

但因a≠0，所以 λ=μ。

证毕。

[编辑本段]推论 推论1 两个向量a、b共线的充要条件是:存在不全为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。

证明: 1)充分性，不妨设μ≠0，则由 λa+μb=0 得 b=(λ/μ)a。

由 共线向量基本定理 知，向量a与b共线。

2)必要性，已知向量a与b共线，若a≠0，则由共线向量基本定理知，b=λa，所以 λa-b=0，取 μ=-1≠0，故有 λa+μb=0，实数λ、μ不全为零。

若a=0，则取μ=0，取λ为任意一个不为零的实数，即有 λa+μb=0。

证毕。

推论2 两个非零向量a、b共线的充要条件是:存在全不为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。

证明: 1)充分性，∵μ≠0，∴由 λa+μb=0 可得 b=(λ/μ)a。

由 共线向量基本定理 知，向量a与b共线。

2)必要性，∵向量a与b共线，且a≠0，则由 共线向量基本定理 知，b=λa;又∵b≠0，∴λ≠0; 取 μ=-1≠0，就有 λa+μb=0，实数λ、μ全不为零。

证毕。

推论3 如果a、b是两个不共线的向量，且存在一对实数λ、μ，使得 λa+μb=0，那么λ=μ=0。

证明:(反证法) 不妨假设μ≠0，则由 推论1 知，向量a、b共线;这与已知向量a、b不共线矛盾，故假设是错的，所以λ=μ=0。

证毕。

推论4 如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是:存在唯一实数λ，使得 向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB。

(其中，向量AC=λ向量AB)。

证明: ∵三点P、A、B不共线，∴向量AB≠0， 由 共线向量基本定理 得， 点C在直线AB上 <=> 向量AC 与 向量AB 共线 <=> 存在唯一实数λ，使 向量AC=λ·向量AB ∵三点P、A、B不共线，∴向量PA 与 向量PB 不共线， ∴向量AC=λ·向量AB <=> 向量PC-向量PA=λ·(向量PB-向量PA) <=> 向量PC=(1-λ)向量PA+λ·向量PB。

证毕。

推论5 如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是:存在唯一一对实数λ、μ，使得 向量PC=λ向量PA+μ向量PB。

(其中，λ+μ=1) 证明: 在推论4 中，令 1-λ=μ ，则λ+μ=1，知: 三点P、A、B不共线 <=> 点C在直线AB上的充要条件是:存在实数λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB。

(其中，λ+μ=1) 下面证唯一性，若 向量PC=m向量PA+n向量PB，则 m向量PA+n向量PB=λ向量PA+μ向量PB， 即，(m-λ)向量PA+(n-μ)向量PB=0， ∵三点P、A、B不共线，∴向量PA 与 向量PB 不共线， 由 推论3 知，m=λ，n=μ。

证毕。

推论6 如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是:存在不全为零的实数λ、μ、ν，使得 λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。

证明: 1)充分性，由推论5 知，若三点P、A、B不共线，则 点C在直线AB上 <=> 存在实数λ、μ，使得 向量PC=λ向量PA+μ向量PB(其中，λ+μ=1)。

取ν=-1，则有:λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，且实数λ、μ、ν不全为零。

2)必要性，不妨设ν≠0，且有:λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，则 向量PC=(λ/ν)·向量PA+(μ/ν)·向量PB，(-λ/ν)+(-μ/ν)=1。

由推论5 即知，点C在直线AB上。

证毕。

推论7 点P是直线AB外任意一点，那么三不同点A、B、C共线的充要条件是:存在全不为零的实数λ、μ、ν，使得 λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。

证明:(反证法) ∵点P是直线AB外任意一点，∴向量PA≠0，向量PB≠0，向量PC≠0，且 向量PA、向量PB、向量PC两两不共线。

由推论6 知，实数λ、μ、ν不全为零， 1)假设实数λ、μ、ν中有两个为零，不妨设λ≠0，μ=0，ν=0。

则 λ向量PA=0，∴向量PA=0。

这与向量PA≠0。

2)假设实数λ、μ、ν中有一个为零，不妨设λ≠0，μ≠0，ν=0。

则 λ向量PA+μ向量PB=0，∴向量PA=(μ/λ)·向量PB，∴向量PA 与 向量PB共线，这与向量PA 与 向量PB不共线矛盾。

证毕。

[编辑本段]共线向量定理 定理1 ⊿ABC中，点D在直线BC上的充要条件是 其中 都是其对应向量的数量。

证明:有推论5 即可证得。

定理2 ⊿ABC中，点D在直线BC上的充要条件是 其中 都是有向面积。

通常约定，顶点按逆时针方向排列的三角形面积为正，顶点按顺时针方向排列的三角形面积为负。

证明:由定理1 即可得证。