想必现在有很多小伙伴对于如图，在四棱锥$P-ABCD$中，四边形$ABCD$为矩形，$AB\bot BP$，$M$、$N$分别为$AC$、$PD$的中点.求证：$\left(1\right)MN$∥平面$ABP$；（2）平面$ABP\bot $平面$APC$的充要条件是$BP\bot PC$.","title_text":"如图，在四棱锥$P-ABCD$中，四边形$ABCD$为矩形，$AB\bot BP$，$M$、$N$分别为$AC$、$PD$的中点.求证：$\left(1\right)MN$∥平面$ABP$；（2）平面$ABP\bot $平面$APC$的充要条件是$BP\bot PC$.方面的知识都比较想要了解，那么今天小好小编就为大家收集了一些关于如图，在四棱锥$P-ABCD$中，四边形$ABCD$为矩形，$AB\bot BP$，$M$、$N$分别为$AC$、$PD$的中点.求证：$\left(1\right)MN$∥平面$ABP$；（2）平面$ABP\bot $平面$APC$的充要条件是$BP\bot PC$.","title_text":"如图，在四棱锥$P-ABCD$中，四边形$ABCD$为矩形，$AB\bot BP$，$M$、$N$分别为$AC$、$PD$的中点.求证：$\left(1\right)MN$∥平面$ABP$；（2）平面$ABP\bot $平面$APC$的充要条件是$BP\bot PC$.方面的知识分享给大家，希望大家会喜欢哦。

证明：（1）连接$BD$，由于四边形$ABCD$为矩形，

则$BD$必过点$M.(1$分）

又点$N$是$PD$的中点，则$MN$∥$BP,(2$分）

$because MN$⊄面$ABP$，$BPsubset $面$ABP$，

$therefore MN$∥平面$ABP.(4$分）

（2）充分性：由“$BPbot PC$”$Rightarrow $“平面$ABPbot $平面$APC$”，

$because ABbot BP$，$ABbot BC$，$BPsubset $面$PBC$，$BCsubset $面$PBC$，$BPcap BC=B$，

$therefore ABbot $面$PBC$，$(6$分）

$because PCsubset $面$PBC$，$therefore ABbot PC$，$(7$分）

又$because PCbot BP$，$AB$，$BP$是面$ABP$内两条相交直线，

$therefore PCbot $面$ABP$，$PCsubset $面$APC$，$(9$分）

$therefore $面$ABPbot $面$APC.(10$分）

必要性：由“平面$ABPbot $平面$APC$”$Rightarrow $“$BPbot PC$.”

过$B$作$BHbot AP$于$H$，

$because $平面$ABPbot $平面$APC$，面$ABPcap $面$APC=AP$，

$BHsubset $面$ABP$，$therefore BHbot $面$APC.(12$分）

$because ABbot PC$，

$therefore PCbot $面$ABP$，$PCbot PB$.

故平面$ABPbot $平面$APC$的充要条件是$BPbot PC.(14$分）

本文到此结束，希望对大家有所帮助。