给定正整数n和正数M，对于满足条件a21+a2n+1≤M的所有等差数列a1，a2，a3，…，试求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值。

解:设此数列的公差为d， 则S= an+1+an+2+…+a2n+1=(n+1)(a1+32nd).故Sn+1=a1+32nd． 由n给定，故应求a1+32nd =t的最大值． M≥a12+(a1+nd)2=2a12+2a1nd+n2d2=λ(a1+32nd)2+(2－λ)a12+(2－3λ)a1nd+(1－94λ)n2d2 (若(2－λ)a12+(2－3λ)a1nd+(1－94λ)n2d2能配成完全平方式，则可求出t的最大值．) 取(2－3λ)2－4(2－λ)(1－94λ)=0，即4－12λ+9λ2－8+22λ－9λ2=0，λ=25． ∴ M≥25(a1+32nd)2+110(4a1+nd)2≥25(Sn+1)2. ∴ S≤10 2(n+1)M ．等号当且仅当4a1+nd=0及M=25(a1+32nd)2时成立．即a1=－14nd，a1=－10M 10 ，d=410 •1nM 时成立．易算得此时a12+an+12=M，S=10 2(n+1)M ． ∴ S的最大值为10 2(n+1)M ． 梅西哥哥，这个是1999年全国高中数学联合竞赛第一试的第五题吧，我从网上搜了一下答案，希望能帮助哥哥！。